Даны координаты вершины треугольника АВС: A(-2;2) B(3;1) C(5;4)
Найти уравнение и длину медианы BD; уравнение и длину высоты АК

Даны координаты вершин треугольника АВС:  A(-2;2) B(3;1) C(5;4).

1) Находим координаты точки D как середины отрезка AС.

D = ((-2+5)/2=1,5; (2+4)/2=3) = (1,5; 3).

Вектор BD = (1,5-3=-1,5; 3-1=2) = (-1,5; 2).

Находим уравнение медианы BD:

BD = x + -3 = y + -1  

              -1,5    2    

BD = 2 x + -6 = -1,5 y + 1,5

BD = 2 x + 1,5 y - 7,5 = 0.

Приводим к целым коэффициентам:

BD = 4 x + 3 y - 15 = 0.

Длина BD = √((-1,5)² + 2²) =√(2,25 + 4) = √6,25 = 2,5.

2) Вектор ВС = (2; 3).

Уравнение ВС: (х - 3)/2 = (у - 1)/3   или 3х - 2у - 7 = 0.

Прямая, проходящая через точку M1(x1; y1) и перпендикулярная прямой Ax+By+C=0, представляется уравнением  A(y-y1)-B(x-x1)=0.

У нас: АК:  3(у - 2) + 2(х + 2) = 0  или 2х + 3у - 2 = 0.

Находим координаты точки К как точки пересечения прямых ВС и АК.

ВС:  3х - 2у - 7 = 0.| x2     6х - 4у - 14 = 0.  

АК: 2х + 3у - 2 = 0.|x(-3)   -6x - 9y + 6 = 0.

                                               -13у - 8 = 0      у(К) = -8/13.

х(К) = 2 - 3у = 2 -3*(-8/13) = 50/13.

Точка К((50/13); (-8/13)).

Вектор АК =((50/13) - (-2) = (76/13); (-8/13) - 2 = (-34/13) =

                  = ((76/13); (-34/13)).

Длина АК = √((76/13)² + (-34/13)²) = √41,0177 = 6,40451.