Найдите наименьшее значение функции f (x)=4^x - 2^x+4 + 100

F(x)=2^(2x)-2^(x+4)+100=2^(2x)-2^4*2^x+100=2^(2x)-16*2^x+100

2^(x)=t
t^2-16t+100=0-парабола,ветки вниз.найдем координаты вершины:
t(min)=16/2=8
2^(x)=8
2^(x)=2^3
x=3
f(3)=64-128+100=36-наименьшее значение функции

Для поиска наименьшего значения функции необходимо найти ноли производной т.е. точки, где у функции будет экстремум, и показать, что до экстремума функция падает, т.е. производная а после экстремума функция растёт, т.е. производная

Пользуемся правилами дифференцирования:

1) ;

2) ;

3) ;

Берём производную, в соответствии с 3) :



;

;

Потребуем: ;

;

;

;

причём это единственный корень.

При например при т.е. функция убывает.

При например при т.е. функция растёт.

Значит при как раз достигается минимум: ;

О т в е т :