Упростите выражение : cos ²2 x+(1+cos2x)²tg²x

Для упрощения данного выражения, воспользуемся известными тригонометрическими тождествами.

1. Тождество синуса: sin²x + cos²x = 1
2. Тождество косинуса: cos²x = 1 - sin²x
3. Тождество тангенса: tg²x = sin²x / cos²x

Используя эти тождества, приступим к упрощению выражения пошагово:

cos ²2 x + (1 + cos2x)²tg²x

1. Заменим cos²x с помощью тождества косинуса:

(1 - sin²2x) + (1 + cos2x)²tg²x

2. Возведем (1 + cos2x) в квадрат:

(1 - sin²2x) + (1 + 2cos2x + cos²2x)tg²x

3. Упростим tg²x с помощью тождества тангенса:

(1 - sin²2x) + (1 + 2cos2x + cos²2x)(sin²x / cos²x)

4. Упростим дробь (sin²x / cos²x) на основании тождества синуса:

(1 - sin²2x) + (1 + 2cos2x + cos²2x)(sin²x / (1 - sin²x))

5. Упростим выражение под знаком умножения:

(1 - sin²2x) + (sin²x + 2cos2xsin²x + cos²2xsin²x) / (1 - sin²x)

6. Умножим sin²x на (1 - sin²2x) и sin²x на (cos²2x + 2cos2x):

(1 - sin²2x) + (sin²x - sin⁴2x + 2cos2xsin²x + cos²2xsin²x) / (1 - sin²x)

7. Сгруппируем слагаемые синуса и косинуса:

1 + sin²x - sin⁴2x + 2cos²xsin²x + cos²2xsin²x - sin²2x

8. Упростим слагаемые:

1 + sin²x - sin⁴2x + (cos²x + sin²x)sin²2x - sin²2x

9. Упростим сумму sin²x и cos²x с помощью тождества синуса:

1 + sin²x - sin⁴2x + sin²2xsin²x - sin²2x

10. Упростим суммы и разности слагаемых:

1 - sin⁴2x + sin²x(sin²2x + 1 - 1) - sin⁴2x

11. Найдем значение sin²2x + 1 с помощью тождества синуса:

1 - sin⁴2x + sin²x * 2cos²x - sin⁴2x

12. Упростим:

1 - sin⁴2x + 2sin²x * cos²x - sin⁴2x

13. Распишем cos²x как 1 - sin²x:

1 - sin⁴2x + 2sin²x * (1 - sin²x) - sin⁴2x

14. Упростим:

1 - sin⁴2x + 2sin²x - 2sin⁴x - sin⁴2x

15. Сгруппируем слагаемые:

1 - 2sin⁴x - 2sin⁴2x + 2sin²x

16. Избавимся от минусов в начале выражения:

1 + 2sin⁴x + 2sin⁴2x - 2sin²x

Таким образом, упрощенное выражение равно 1 + 2sin⁴x + 2sin⁴2x - 2sin²x.