В
Все
У
Українська література
Г
Геометрия
Д
Другие предметы
Э
Экономика
Г
География
О
ОБЖ
М
Математика
М
МХК
Х
Химия
Қ
Қазақ тiлi
Л
Литература
У
Українська мова
О
Обществознание
Ф
Физика
А
Английский язык
А
Алгебра
И
История
Б
Беларуская мова
Б
Биология
М
Музыка
П
Право
И
Информатика
П
Психология
В
Видео-ответы
Н
Немецкий язык
Ф
Французский язык
О
Окружающий мир
Р
Русский язык
Masha200605
Masha200605
16.05.2020 13:09 •  Алгебра

Найти область сходимости ряда: \displaystyle \sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}\cdot (x+3)^n }{5^n\cdot n^2} .

Ответ:
mnize123
mnize123
10.10.2021 17:10

x\in [-8;2]

Объяснение:

\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n(x)|}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{|x+3|^n}{5^n\cdot n^2}}=\dfrac{|x+3|}{5}

Значит, ряд сходится в области, удовлетворяющей неравенству

\dfrac{|x+3|}{5}

Исследуем сходимость на концах интервала.

1) x=-8\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^{n-1}\cdot (-5)^n}{5^n\cdot n^2}=-\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^2} - сходится как обобщенный гармонический ряд с \alpha=21

2) x=2\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^{n-1}\cdot 5^n}{5^n\cdot n^2}=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^2} - согласно пункту 1) ряд из модулей сходится, а значит данный ряд сходится абсолютно.

0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?