Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найти общий интеграл дифференциального уравнения: 1)xydx+(1+y^2)sqrt(1+x^2)dy=0; 2)(1+x^2)y'+y*sqrt(1+x^2)=xy;

Ответ:

сюрприз23456789

20.08.2020 23:15

$xy*dx+(1+y^2)*\sqrt{1+x^2}*dy=0|*\frac{1}{y\sqrt{1+x^2}}\\\frac{xdx}{\sqrt{1+x^2}}=-\frac{(1+y^2)dy}{y}\\\int \frac{d(1+x^2)}{\sqrt{1+x^2}}=\int(-\frac{1}{y}-y)dy\\\sqrt{1+x^2}=-ln|y|-\frac{y^2}{2}+C\\\sqrt{1+x^2}+ln|y|+\frac{y^2}{2}=C\\\\\\\sqrt{1+x^2}+ln|y|+\frac{y^2}{2})'=C'\\\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y'}{y}+yy'=0|*y\sqrt{1+x^2}dx\\xydx+(1+y^2)\sqrt{1+x^2}dy$
В начале при делении потеряли ответ y=0, поэтому полный ответ:
$(\sqrt{1+x^2}+ln|y|+\frac{y^2}{2}=C\ ;y=0$

$(1+x^2)*y'+y*\sqrt{1+x^2}=xy|*\frac{dx}{y(1+x^2)}\\\frac{dy}{y}+\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{xdx}{1+x^2}\\\frac{dy}{y}=\frac{1}{2}\frac{d(1+x^2)}{1+x^2}-\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}\\\int\frac{dy}{y}=\frac{1}{2}\int\frac{d(1+x^2)}{1+x^2}-\int\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}\\ln|y|=\frac{1}{2}ln|1+x^2|-ln|x+\sqrt{1+x^2}|+C\\ln|y|=ln|\sqrt{1+x^2}|-ln|x+\sqrt{1+x^2}|+ln|C|\\ln|y|=ln|\frac{C\sqrt{1+x^2}}{x+\sqrt{1+x^2}}|\\y=\frac{C\sqrt{1+x^2}}{x+\sqrt{1+x^2}}\\y*\frac{x+\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}}=C$
Проверка:
$(y*\frac{x+\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}})'=C'\\y'*\frac{x+\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}}+y*{\frac{(1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}})*\sqrt{1+x^2}-\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}*(x+\sqrt{1+x^2})}{1+x^2}}=0\\y'*\frac{x+\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}}+y*{\frac{(\frac{x+\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}})*\sqrt{1+x^2}-\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}*(x+\sqrt{1+x^2})}{1+x^2}}=0|*\frac{\sqrt{1+x^2}}{x+\sqrt{1+x^2}}\\y'+y\frac{\sqrt{1+x^2}-x}{1+x^2}=0|*(1+x^2)\\(1+x^2)y'+y\sqrt{1+x^2}-xy=0\\(1+x^2)y'+y\sqrt{1+x^2}=xy$
В этом примере мы тоже теряем решение y=0, но дописывать его не надо т.к. у=0 при С=0

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

nik22041

12.09.2022 20:19

Нужна ваша : ) масса стакана,наполненного водой 240 г,а масса наполненного наполовину 145 г.сколько граммов масса пустого стакана?...

Гриша2148139

12.09.2022 20:19

Аварія- катастрофа- поміркуй, які аварії можуть трапитися у твоїй квартирі чи будинку.що ти робитемеш у таких випадках? запиши послідовністо своїх дій. якщо у квартирі(...

ПрофессиАНАЛ

12.09.2022 20:19

Увани в коллекции было 24 значка. папа подарил ему ещё 3 значка. теперь ване не хватает 2-х значков до половины папиной коллекции. сколько значков в папиной коллекции?...

AннаКрутая

12.09.2022 20:19

Впонедельник марина прочитала 24 страницы, а во вторник еще 12. если она прочитает еще 6 страниц, то книга будет прочитана наполовину. сколько страниц в книге?...

GoldFish1701

12.09.2022 20:19

Вычислитель интеграл от 4 до -4 х*|х|...

Podruvnik

09.06.2022 03:34

Если к двузначному числу справа приписать 0, то оно увеличится на 325. как найти это число....

Kylie15

09.06.2022 03:34

Периметр квадрата 12,8 м . найди перимитр треугольника с такой же площадью одна из старон которого равна 6,4 м .какая фигура имеет большой периметр ....

serega1808s

06.12.2022 19:20

Тік төртбұрыштың ұзындығы 7 см,ені 2 тікбұрыштың ені оның ұзындығының қандай бөлігін құрайды?...

GranitaBerchuk

28.05.2021 23:29

У Макса было 540 рублей. Он потратил на сладости 1 шестую этих денег.А затем потратил 1 девятую остатка на пирожки. Сколько денег было у Макса?...

Kamjla1

21.12.2021 20:10

–9,3 + 4,8 және –4,8 + 3,9 қосындыларының мәнін салыстыр.–9,3 + 4,8 –4,8 + 3,9...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку