Войти Регистрация Спроси ai-bota

Решить интеграл приемом интегрирования тригонометрических выражений (подробнее )

Ответ:

лев1110

05.10.2020 18:57

В первом примере универсальная тригонометрическая подстановка $\displaystyle \int\limits { \frac{1}{4\cos x+3\sin x-1} } \, dx =\bigg\{tg \frac{x}{2} =u;\,\,\, \sin x= \frac{2u}{u^2+1} ;\,\, \cos x= \frac{1-u^2}{u^2+1} \bigg\}=$

$\displaystyle = \int\limits { \frac{2}{(u^2+1)( \frac{6u}{u^2+1}+ \frac{4(1-u^2)}{u^2+1}-1) } } \, du=\int\limits { \frac{2}{6u-5u^2+3} } \, du=$
Выделим полный квадрат.
$\displaystyle =\int\limits { \frac{2}{-( \sqrt{5}u- \frac{3}{ \sqrt{5} } )+ \frac{24}{5} } } \, du=\bigg\{ \sqrt{5}u- \frac{3}{ \sqrt{5} } =t;\,\,\, dt= \sqrt{5} du\bigg\}=\\ \\ \\ = \frac{2}{ \sqrt{5} } \int\limits { \frac{1}{ \frac{24}{5} -t^2} } \, dt= \frac{2}{ \sqrt{5} } \cdot \frac{ \sqrt{5} }{2\cdot \sqrt{24} } \ln\bigg| \frac{t+ \sqrt{ \frac{24}{5} } }{-t+ \sqrt{ \frac{24}{5} } } \bigg|+C=\\ \\ \\$
$\displaystyle = \frac{1}{ \sqrt{24} } \ln\bigg| \frac{ \sqrt{5} tg \frac{x}{2} - \frac{3}{ \sqrt{5} } +\sqrt{\frac{24}{5}}}{- \sqrt{5} tg \frac{x}{2}+ \frac{3}{ \sqrt{5} } +\sqrt{\frac{24}{5}}} \bigg|+C$

$\displaystyle \int\limits { \frac{2\cos(\pi/2-x)\sin^4x}{\cos^2x+1} } \, dx=\int\limits { \frac{2\sin^5x}{\cos^2x+1} } \, dx=\bigg\{u=\cos x\bigg\}=\\ \\ \\ =-2\int\limits { \frac{(1-u^2)^2}{u^2+1} } \, du=-2\int\limits {\bigg(u^2-3+ \frac{4}{u^2+1} \bigg)} \, du=\\ \\ \\ =-8arctgu-2\cdot \frac{u^3}{3} +6u+C=-8arctg(\cos x)-2\cdot \frac{\cos^3x}{3} +6\cos x+C$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

sofia2004417

04.08.2020 04:52

Число больше 2 меньше 9 и не является соседом справа от 4 какое это число...

dima2727

20.07.2021 11:07

Сколько диагоналей у прямоугольника с семью сторонами?...

аноним4378

22.12.2020 07:44

Вопрос: Выберите верные утверждения:Выберите несколько из 5 вариантов ответа.1) Прямым углом называют развернутый угол.2) Углом называют часть плоскости, ограниченную двумя...

valentinaproneValya

12.12.2021 14:12

1247. Решите уравнение. 1211) 72514;2)1 132 14132.to9 3863...

Hafs

01.03.2021 07:23

14а⁸. 12а⁷-. :с⁵. 18с⁴ умоляю...

katarinka377

06.09.2022 11:54

Для получения томат-пасты протертую массу томатов выпаривают в специальных машинках.Сколько томат-пасты, содержащей 30% воды, получится из 28 т протертой массы томатов, содержащей...

58310

28.06.2020 00:09

34нужно цифра :5+15 ответ:10...

1охико1

22.06.2021 04:51

Протяжённость новой трассы — 28 км. Покрыли асфальтом 3/7 трассы. Найди, сколько километров трассы покрыли асфальтом. ответ: покрыли асфальтом км ? трассы...

0010110

22.06.2021 04:51

представьте многочлен 3ху^2+5х^4-6х^6+8ху-9у+11 в виде разности двух многочленов с положительными коэффициентами )...

linali20041

22.06.2021 04:51

Пусть a и b различные положительные числа. Известно что a2+b2=4ab Найдите a+b/a-b. ответ обоснуйте...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку