За большим круглым столом расселись 16 человек: рыцари, которые всегда говорят правду,и лжецы,которые всегда лгут. каждый заявил,что оба его соседа лжецы. какое наименьшие количество рыцарей за столом могли быть.

Если рыцарь говорит, что оба его соседа лжецы, то это так и есть -
оба его соседа лжецы. То есть он сидит между двух лжецов.
Если лжец говорит, что оба его соседа лжецы, то может быть 2 варианта:
1) Оба соседа - рыцари. В этом случае они сидят через одного:
(Р-Л)-(Р-Л)-...-(Р-Л). Получается 8 рыцарей и 8 лжецов.
2) Один сосед рыцарь, второй лжец. В этом случае они сидят так:
(Л-Р-Л)-(Л-Р-Л)-...-(Л-Р-Л)-Р
Всего 5 троек (это 15 человек) и еще один, он должен быть рыцарем, потому что трех лжецов подряд быть не может.
Всего 6 рыцарей и 10 лжецов.
ответ: 6 рыцарей.