Решить неопределенный интеграл arctg^3x/1+x^2

1/(1+x^2) - производная арктангенса. Это знать надо.
Поэтому ∫dx*arctg^3(x)/(1+x^2)=∫arctg^3(x)*d(arctgx)=arctg^4(x)/4+C