Войти Регистрация Спроси ai-bota

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка найти общее решение:

Ответ:

pachev

23.09.2020 20:58

$y'x^2 = 2xy - 3 \ ;$

Решим соответствующее однородное уравнение:

$x^2 \frac{dy}{dx} = 2xy \ ;$

$\frac{dy}{y} = 2 \frac{dx}{x} \ ;$

$\int{ \frac{dy}{y} } = 2 \int{ \frac{dx}{x} } \ ;$

$\ln{|y|} = 2 \ln{|x|} + C_1 \ ;$

$\ln{|y|} = \ln{ ( C|x|^2 ) } \ ;$

$|y| = Cx^2 \ ;$

$y = Cx^2 \ ;$

Введём вместо константы C функцию f(x):

$y = x^2 f(x) \ ;$

$y' = 2x f(x) + x^2 f'(x) \ ;$

Подставим эти выражения в исходное неоднородное дифф.уравнение:

$x^2 ( 2x f(x) + x^2 f'(x) ) = 2x \cdot x^2 f(x) - 3 \ ;$

$2x^3 f(x) + x^4 f'(x) = 2x^3 f(x) - 3 \ ;$

$x^4 f'(x) = - 3 \ ;$

$f'(x) = - \frac{3}{x^4} \ ;$

$f(x) = \int{ f'(x) } \, dx = - \int{ \frac{3}{x^4} } \, dx = - \int{ 3x^{-4} } \, dx = x^{-3} + C = \frac{1}{x^3} + C \ ;$

Тогда общим решением исходного
неоднородного дифференциального уравнения будет:

$y = x^2 f(x) = x^2 ( \frac{1}{x^3} + C ) = \frac{1}{x} + Cx^2 \ ;$

О т в е т : $y = \frac{1}{x} + Cx^2 \ .$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

айлина2хх

31.01.2021 09:07

Составьте таблицу видов эвакуации по различным признакам....

TamaraPanova63

31.01.2021 09:07

Решите неравенство: |4х+3х| 7 надо...

suchilinaelya

07.09.2022 21:24

Решить неравенство (1/3)^(x^2-x-20) 1...

alisakholodova9

13.09.2020 21:27

Тема: декоративно-прикладное искусство  1. что относится к декоративно-прикладному искусству? а) античная культура б) фольклор в) народные промыслы  2. из каких...

jhgvbbbg

13.09.2020 21:27

Выполните действия 1)-14,3 * 0,6 + 5,7 * (-1,4); 2) (3,4 - 5)*(-4,12 + 4,04); 3) 5/9 * (-3 5/6) - (-3 5/7) * 3/52; 4) (2 1/3 - 3 1/4)*(2 3/4 - 9,95)....

МаркРешетов

14.02.2020 09:46

С♡ я решила ее, но она оказалась неправильной. расстояние между а и в 490 км. из города а в город в со скоростью 55 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после...

viktoriaprm

22.11.2022 10:34

Трапеция вписана в окружность. ее основания равны 21 см и 5 см, а один из углов равен 135 . найти площадь трапеции...

Vladrus2006XD

22.11.2022 10:34

Два комбайна, работая всесте, могут выполнить за 6 ч. первый комбайн, работая одни, могут выполнить за 10 ч. за сколько часов может выполнить это второй комбайн,...

лиза2698

22.11.2022 10:34

Ученик прочитал в первый день 30 %всей книги. во второй день 40 %остатка, а в третий день оставшиеся 105 страниц. сколько страниц в книге? по действиям....

dangah31

02.03.2023 10:22

Буквально в нескольких предложениях, нужно одинаковы ли понятия гражданин и патриот?...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку