Интеграл. Продолжаем пировать

Пошаговое объяснение:

не судите строго

III. ИНТЕГРАЛЫ ОТ БИНОМИАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ

Так называются интегралы вида

∫x^m(a+bx^n)^p, (9,8)

где m, n, p —

любые рациональные числа;

а и Ь —

какие угодно постоянные, не равные нулю

Подынтегральное выражение называется биномиальным дифференциалом.

1

Кoнечно, предполагается, что числа m, n, p не все целые. Если бы все

они были целыми, то вопрос свелся бы к интегрированию суммы степенных

функций.

П. Л. Чебышев доказал, что только в трех случаях этот

интеграл может быть выражен в конечном виде через

алгебраические, логарифмические и обратные круговые функции:

1) р —

целое число, которое может быть положительным, отри-

отрицательным или равным нулю. В этом случае применяется под-

cтановка

х =y^s

где s —

общее наименьшее кратное знаменателей дробей m и n.

Это простейший случай: дело сводится к интегрированию суммы

степенных функций.

2) -  целое число. Здесь следует применить подстановку

а + bx^n = y^s

где s —  знаменатель дроби р.

3) (m+1)/n +р —целое число. В этом случае применяют подстановку

ах^(-n)+b=y^s

где s —  знаменатель дроби р.

Других случаев интегрируемости биномиальных дифференциалов, кроме перечисленных, нет. Интересно отметить, что они были

известны еще Ньютону, а Эйлер указал приведенные выше под-

подстановки. Однако только П. Л. Чебышев доказал, что эти случаи

интегрируемости являются единственными и что в других случаях

интеграл (9,8) не может быть выражен при элементарных

функций.

у нас m=-4, n=2, p=-1/2

(-4+1)/2-1/2=-3/2-1/2=-2 - cлучай 3