Записать в тригонометрической форме и возвести в степень.
СТРОЧНО

Возводить в натуральную степень n, если она достаточно велика, комплексные числа проще всего в тригонометрической форме, то есть если число z=a+bi задано в алгебраической форме, то его изначально надо записать в тригонометрической.

Пусть число z=|z|(cosϕ+isinϕ), тогда умножая его само на себя n раз (что эквивалентно тому, что мы его возводим в степень n), получим:

zn=(|z|(cosϕ+isinϕ))n=|z|n(cosnϕ+isinnϕ)

Таким образом, модуль степени комплексного числа равен той же степени модуля основания, а аргумент равен аргументу основания, умноженному на показатель степени.

Если |z|=1, то получаем, что

zn=(cosϕ+isinϕ)n=cosnϕ+isinnϕ

Данная формула называется формулой Муавра (Абрахам де Муавр (1667 - 1754) - английский математик).

Пример

Задание. Найти z20, если z=12+3√2i

Решение. Вначале запишем заданное комплексное число в тригонометрической форме, для этого вычислим его модуль и аргумент:

|z|=∣∣12+3√2i∣∣=(12)2+(3√2)2‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=14+34‾‾‾‾‾‾√=44‾‾√=1

argz=arg(12+3√2i)=arctg3√212=arctg3‾√=π3

Тогда

z=1⋅(cosπ3+isinπ3)=cosπ3+isinπ3

А отсюда, согласно формуле, имеем:

z20=(cosπ3+isinπ3)20=cos(20⋅π3)+isin(20⋅π3)=

=cos20π3+isin20π3=cos21π−π3+isin21π−π3=

=cos(7π−π3)+isin(7π−π3)=cos(π−π3)+isin(π−π3)=

=−cosπ3+isinπ3=−12+i⋅3√2=−12+3√2i

ответ. z20=−12+3√2i

Читать дальше: извлечения корня из комплексного числа.

Слишком сложно?

Возведение комплексного числа в натуральную степень не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание

Пошаговое объяснение: