Чтобы доказать, что одно из написанных чисел кратно 30, мы можем воспользоваться методом противоположного предположения. Допустим, что все 10 чисел, которые написаны на доске, не кратны 30.
Кратность числа 30 означает, что число без остатка делится на 30. Другими словами, если число кратно 30, то при делении его на 30, остатка быть не должно.
Произведение любых 4 чисел, написанных на доске, кратно 30. Значит, если мы возьмем любые 4 числа и умножим их между собой, то получим число, которое делится на 30 без остатка.
Пусть числа на доске обозначены как a₁, a₂, a₃, ..., a₁₀.
Мы можем выбрать 4 числа из 10, написанных на доске, и обозначить их как aᵢ, aⱼ, aₖ и aₗ, где i, j, k и l - различные индексы.
Теперь рассмотрим их произведение: aᵢ * aⱼ * aₖ * aₗ.
Если это произведение кратно 30, то мы доказали, что существует одно число, которое кратно 30.
Предположим, что произведение aᵢ * aⱼ * aₖ * aₗ не делится на 30 без остатка. Это значит, что оно имеет остаток при делении на 30.
Так как каждое из выбранных чисел aᵢ, aⱼ, aₖ и aₗ не кратно 30 (согласно нашему предположению), значит, каждое из них тоже имеет остаток при делении на 30.
Каждое число aᵢ, aⱼ, aₖ и aₗ можно представить в виде произведения 30 и какого-то числа. Пусть aᵢ = 30 * pᵢ, aⱼ = 30 * pⱼ, aₖ = 30 * pₖ и aₗ = 30 * pₗ.
Здесь pᵢ, pⱼ, pₖ и pₗ - это целые числа, которые обозначают остатки aᵢ, aⱼ, aₖ и aₗ соответственно при делении на 30.
Мы можем вынести число 30 за скобки:
(30 * 30 * 30 * 30) * (pᵢ * pⱼ * pₖ * pₗ).
Здесь число 30 взяли в скобки, чтобы показать, что оно присутствует в каждом из членов произведения.
Теперь мы видим, что произведение aᵢ * aⱼ * aₖ * aₗ можно представить в виде произведения числа 30 в четвертой степени (30 * 30 * 30 * 30) и произведения pᵢ * pⱼ * pₖ * pₗ.
Таким образом, мы получили число, которое делится на 30 без остатка. Это противоречит нашему предположению и доказывает, что хотя бы одно из написанных чисел на доске должно быть кратным 30.
Таким образом, мы доказали, что если произведение любых 4 чисел, написанных на доске, кратно 30, то одно из чисел на доске также должно быть кратно 30.
Кратность числа 30 означает, что число без остатка делится на 30. Другими словами, если число кратно 30, то при делении его на 30, остатка быть не должно.
Произведение любых 4 чисел, написанных на доске, кратно 30. Значит, если мы возьмем любые 4 числа и умножим их между собой, то получим число, которое делится на 30 без остатка.
Пусть числа на доске обозначены как a₁, a₂, a₃, ..., a₁₀.
Мы можем выбрать 4 числа из 10, написанных на доске, и обозначить их как aᵢ, aⱼ, aₖ и aₗ, где i, j, k и l - различные индексы.
Теперь рассмотрим их произведение: aᵢ * aⱼ * aₖ * aₗ.
Если это произведение кратно 30, то мы доказали, что существует одно число, которое кратно 30.
Предположим, что произведение aᵢ * aⱼ * aₖ * aₗ не делится на 30 без остатка. Это значит, что оно имеет остаток при делении на 30.
Так как каждое из выбранных чисел aᵢ, aⱼ, aₖ и aₗ не кратно 30 (согласно нашему предположению), значит, каждое из них тоже имеет остаток при делении на 30.
Каждое число aᵢ, aⱼ, aₖ и aₗ можно представить в виде произведения 30 и какого-то числа. Пусть aᵢ = 30 * pᵢ, aⱼ = 30 * pⱼ, aₖ = 30 * pₖ и aₗ = 30 * pₗ.
Здесь pᵢ, pⱼ, pₖ и pₗ - это целые числа, которые обозначают остатки aᵢ, aⱼ, aₖ и aₗ соответственно при делении на 30.
Теперь рассмотрим произведение aᵢ * aⱼ * aₖ * aₗ:
(30 * pᵢ) * (30 * pⱼ) * (30 * pₖ) * (30 * pₗ).
Мы можем вынести число 30 за скобки:
(30 * 30 * 30 * 30) * (pᵢ * pⱼ * pₖ * pₗ).
Здесь число 30 взяли в скобки, чтобы показать, что оно присутствует в каждом из членов произведения.
Теперь мы видим, что произведение aᵢ * aⱼ * aₖ * aₗ можно представить в виде произведения числа 30 в четвертой степени (30 * 30 * 30 * 30) и произведения pᵢ * pⱼ * pₖ * pₗ.
Таким образом, мы получили число, которое делится на 30 без остатка. Это противоречит нашему предположению и доказывает, что хотя бы одно из написанных чисел на доске должно быть кратным 30.
Таким образом, мы доказали, что если произведение любых 4 чисел, написанных на доске, кратно 30, то одно из чисел на доске также должно быть кратно 30.