Пусть pm, pn и pk – длины перпендикуляров, опущенных на прямые, содержащие стороны треугольника, из некоторой точки p внутри треугольника. найдите наибольшее возможное целое значение произведения pm⋅pn⋅pk, если стороны треугольника равны 9, 12 и 15.

Точки, наиболее одновременно удалённые от сторон угла, лежат на биссектрисах угла треугольника.

Поэтому, точка Р - это центр вписанной окружности.

Заданный треугольник - прямоугольный: 9² + 12² = 15².

Тогда r = (a + b - c)/2 = (9 + 12 - 15)/2 = 6/2 = 3.

ответ: наибольшее возможное целое значение произведения PM⋅PN⋅PK равно 3³ = 27.