Пусть АВС - треугольник, АД - медиана, проведенная из вершины А на сторону ВС, СЕ - медиана, проведенная из вершины С на сторону АВ. Медианы АД и СЕ пересекаются в точке М. Точка пересечения медиан делит каждую из медиан на две части в отношении 2:1, считая от вершины. Так как медианы равны, то равны и части медиан АМ=СМ и ЕМ=ДМ. Следовательно треугольники АЕМ и ДМС равны по двум сторонам и углу между ними (угол ЕМД=угол ДМС, как вертикальные углы) Значит стороны, лежащие против равных углов равны, то есть АЕ=ДС. Но АЕ - это половина стороны АВ, ДС - это половина стороны ВС, Значит АВ=ВС, треугольник АВС - равнобедренный.
Точка пересечения медиан делит каждую из медиан на две части в отношении 2:1, считая от вершины. Так как медианы равны, то равны и части медиан АМ=СМ и ЕМ=ДМ.
Следовательно треугольники АЕМ и ДМС равны по двум сторонам и углу между ними (угол ЕМД=угол ДМС, как вертикальные углы)
Значит стороны, лежащие против равных углов равны, то есть АЕ=ДС.
Но АЕ - это половина стороны АВ, ДС - это половина стороны ВС,
Значит АВ=ВС, треугольник АВС - равнобедренный.