:докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник — квадрат.(желательно с рисунком)

Т.к. для того, чтобы в четырёхугольник можно было вписать окружность, необходимо, чтобы суммы противоположных сторон были равны, то тогда, обозначив одну сторону за a, а вторую - b, получим следующее:
a+a=b+b
2a=2b
a=b.
Значит, данный прямоугольник является квадратом, т.к. его противоположные и смежные стороны равны и углы между ними равны 90°.