Войти Регистрация Спроси ai-bota

Нужно пошаговое решение! доказать, что во всяком треугольнике abc между его площадью s и радиусами вписанной и описанной окружности существует соотношение

Ответ:

Айка12341

19.08.2020 13:01

Для любого треугольника справедливы формулы
(a,b,c - стороны, р - полупериметр)

$S=\frac{a+b+c}{2}r=pr$
$S=\frac{abc}{4R}$
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
отсюда

$r^3R=\frac{S^3}{p^3}*\frac{abc}{4S}=\frac{S^2abc}{4p^3}$
$\frac{S^2}{4}=r3R\frac{p^3}{abc}$

Докажем что для любой стороны треугольника справедливо
полупериметр больше любой стороны
pa; pb; pc

pa; pb; pc

не ограничивая общности пусть
$a \leq b \leq c$
по неравенству треугольника

откуда

c+c

$a \leq b \leq c$
доказано

значит $\frac{p}{a}1$
$\frac{p}{b}1$
$\frac{p}{c}1$

а значит $\frac{S^2}{4}=r^3R*\frac{p^3}{abc}=\\\\r^3R*\frac{p}{a}*\frac{p}{b}*\frac{p}{c}r^3R$
что равносильно неравенству $S2\sqrt{r^3R}$
Доказано

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Геометрия

XXXOtlichnikXXX

25.05.2020 11:45

Втрапеции авсd боковые стороны ab и cd равны, ch — высота, проведённая к большему основанию ad. найдите длину отрезка hd, если средняя линия km трапеции равна 12,...

нушин

25.05.2020 11:45

Втреугольнике abc ab=ac и 1= 2. докажите , что 3= 4...

ЖибекСуонн3

25.05.2020 11:45

Люди, гиа сегодня угол aco, если его сторона ca касается окружности, o — центр окружности, а дуга ad окружности, заключенная внутри этого угла, равна 140. ответ дайте...

smn43

25.05.2020 11:45

Из квадрата со стороной 10см вырезан прямоугольник со сторонами 3см и 4см.найдите периметр оставшейся части....

dkrutov03

25.05.2020 11:45

Втреугольнике abc угол bac = 65 градусов. bo - медиана. bo = aо. найдите величину угла bco....

Айнель2006

25.05.2020 11:45

Вромбе с площадью 72 см2 один из углов равен 30˚. найдите периметр этого ромба....

Vasyok228

25.05.2020 11:45

Вравнобокой трапеции один из углов в 2 раза меньше другого. найти углы трапеции...

arsenijcurikov

25.05.2020 11:45

1.отрезки ac и bd пересекаются в точке о,причем ao=15см bo=6см,сщ=5см do=18 см а)докажите что четырехугольник abcd трапеция б)найдите отношение площадей треугольников...

laktionovapolyp0cghd

25.05.2020 11:45

Стороны треугольника равны 25 см, 29 см, 36 см. найдите радиус описанной окружности данного треугольника. заранее, огромное !...

Ксения1234561040

25.05.2020 11:45

На стороне ad параллелограмма abcd отмечена точка к так,что ак=4см,kd=5см,bk=12 см. диагональ bd равна 13 см а)докажите что треугольник bkd прямоугольный б)найдите...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку