В равностороннем треугольнике все углы 60, все биссектрисы являются также медианами и высотами. Биссектриса отсекает треугольник с углом 30, прямоугольный (так как биссектриса является высотой), а катет против угла 30 равен половине стороны (так как биссектриса является медианой), а значит и половине гипотенузы.
В равностороннем треугольнике все углы 60, все биссектрисы являются также медианами и высотами. Биссектриса отсекает треугольник с углом 30, прямоугольный (так как биссектриса является высотой), а катет против угла 30 равен половине стороны (так как биссектриса является медианой), а значит и половине гипотенузы.
∆ ABC,
∠C=90º,
∠A=30º.
(изображение 1)
Доказать:
BC=1/2AB
Доказательство:
Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то
∠B=90º-∠A=90º-30º=60º.
Проведем из вершины прямого угла медиану CF.
(изображение номер 2,дорисовать к существующему)
Так как медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то
СF=1/2AB
то есть, CF=AF=BF.
Так как BF=CF, то треугольник BFC — равнобедренный с основанием BC.Следовательно, у него углы при основании равны:
∠B=∠BCF=60º.
Так как сумма углов треугольника равна 180º, то в треугольнике BFC
∠BFC =180º -(∠B+∠BCF)=60º.
Поскольку все углы треугольника BFC равны, то этот треугольник — равносторонний.
Значит, все его стороны равны и
BC=CF=BF=1/2AB
Что и требовалось доказать.