Бисектриса прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки, длинной 75см и 100см. на какие отрезки поделит гипотенузу высота этого треугольника
a, b, c - стороны треугольника, h - высота к гипотенузе, x и y - отрезки гипотенузы, на которые её делит высота (x имеет общий конец с а)
Ясно (по свойству биссектрисы), что a/b = 75/100 = 3/4; то есть треугольник подобен "египетскому" треугольнику со сторонами 3,4,5.
Поскольку c = 100 + 75 = 175; то коэффициент подобия равен 175/5 = 35;
Высота делит прямоугольный треугольник на два, ему же подобных, поэтому
x/a = a/c; x = a^2/c; y = b^2/c; или просто y = c - x;
В "египетском" треугольнике 3,4,5 x = 9/5; y = 16/5, а в подобном ему - заданном в задаче треугольнике все размеры в 35 раз больше, поэтому
ответ: x = 35*9/5 = 63; y = 35*16/5 = 112.
(Конечно, x + y = c = 175 = 5*35; а = 3*35 = 105, b = 4*35 = 140; в "египетском" треугольнике 3,4,5 высота равна 3*4/5 = 2,4; а в заданном h = 2,4*35 = 84; всё это в решении не пригождается - просто для полноты информации)
использовано свойство биссектрисы, признак подобия треугольников, пропорциональность сходственных сторон
"Нестандартное" решение. Но зато понятное.
a, b, c - стороны треугольника, h - высота к гипотенузе, x и y - отрезки гипотенузы, на которые её делит высота (x имеет общий конец с а)
Ясно (по свойству биссектрисы), что a/b = 75/100 = 3/4; то есть треугольник подобен "египетскому" треугольнику со сторонами 3,4,5.
Поскольку c = 100 + 75 = 175; то коэффициент подобия равен 175/5 = 35;
Высота делит прямоугольный треугольник на два, ему же подобных, поэтому
x/a = a/c; x = a^2/c; y = b^2/c; или просто y = c - x;
В "египетском" треугольнике 3,4,5 x = 9/5; y = 16/5, а в подобном ему - заданном в задаче треугольнике все размеры в 35 раз больше, поэтому
ответ: x = 35*9/5 = 63; y = 35*16/5 = 112.
(Конечно, x + y = c = 175 = 5*35; а = 3*35 = 105, b = 4*35 = 140; в "египетском" треугольнике 3,4,5 высота равна 3*4/5 = 2,4; а в заданном h = 2,4*35 = 84; всё это в решении не пригождается - просто для полноты информации)