Варифметической прогрессии а6/а2=3, а сумма первых - вопрос №7758756623110 от хорошист547 04.05.2023 15:44

Question

Алгебра: Варифметической прогрессии а6/а2=3, а сумма первых десяти членов равна 110. найдите первый член и разность прогрессии?

хорошист547 · Answer

Используя формулу n-го члена арифметической прогрессии a_n=a_1+(n-1)d

, получим $\dfrac{a_6}{a_2} = \dfrac{a_1+5d}{a_1+d}=3$ , тогда, умножив обе части на $a_1+d\ne0$ , получим a_1+5d=3a_1+3d

.
Упростив уравнение, получим 2a_1-2d=0

.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $S_{n}= \dfrac{2a_1+(n-1)d}{2} \cdot n$ . используя эту формулу, запишем для суммы первых десяти членов, т.е. $S_{10}= \dfrac{2a_1+9d}{2}\cdot 10=10a_1+45d=110$ . Поделив обе части уравнения на 5, получим 2a_1+9d=22

.

Решим систему уравнений $\displaystyle \left \{ {{2a_1-2d=0} \atop {2a_1+9d=22}} \right.$
От первого уравнения отнимем второе, т.е. 2a_1-2d-2a_1-9d=0-22

$-11d=-22\\ d=2$

Выразим a_1

из перового уравнения, т.е. a_1=d=2

ответ: первый член равен 2 и разность прогрессии равен 2.