Решите уравнение найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Ответ:

spurdosparde228

20.09.2020 11:29

$\sin ^{2} \frac{x}{2} -\cos ^{2} \frac{x}{2} =\cos2x
\\\
-(\cos ^{2} \frac{x}{2} -\sin ^{2} \frac{x}{2})=\cos2x
\\\
-\cos (2\cdot \frac{x}{2} )=\cos2x
\\\
-\cos x=2\cos^2x-1
\\\
2\cos^2x+\cos x-1=0
\\\
D=1^2-4\cdot2\cdot*=(-1)=1+8=9
\\\
\cos x= \frac{-1-3}{4} =-1; \ x= \pi +2 \pi n, \ n\in Z
\\\
\cos x= \frac{-1+3}{4} = \frac{1}{2} ; \ x=\pm \frac{ \pi }{3} +2 \pi n, \ n\in Z$

Рассматриваем первую серию корней:
$- \frac{ \pi }{2} \leq \pi +2 \pi n\ \textless \ \pi 
\\\
 - \frac{ 1 }{2} \leq 1+2 n\ \textless \ 1
\\\
 - \frac{ 3 }{2} \leq 2 n\ \textless \ 0
\\\
 - \frac{ 3 }{4} \leq n\ \textless \ 0$
Целых чисел, удовлетворяющих этому неравенству нет, значит и корней в этой серии на заданном промежутке нет.
Рассматриваем вторую серию корней:
$- \frac{ \pi }{2} \leq \frac{ \pi }{3} +2 \pi n\ \textless \ \pi 
\\\
- \frac{ 1}{2} \leq \frac{1}{3} +2 n\ \textless \ 1
\\\
- \frac{ 1}{2} -\frac{1}{3} \leq 2 n\ \textless \ 1-\frac{1}{3}
\\\
- \frac{ 3}{6} -\frac{2}{6} \leq 2 n\ \textless \ \frac{2}{3}
\\\
 -\frac{5}{6} \leq 2 n\ \textless \ \frac{2}{3}
\\\
 -\frac{5}{12} \leq n\ \textless \ \frac{1}{3}
\\\
n=0: \ x_1=\frac{ \pi }{3} +2 \pi \cdot 0=\frac{ \pi }{3}$
Рассматриваем третью серию корней:
$- \frac{ \pi }{2} \leq -\frac{ \pi }{3} +2 \pi n\ \textless \ \pi 
\\\
- \frac{ 1}{2} \leq - \frac{1}{3} +2 n\ \textless \ 1
\\\
- \frac{ 1}{2} +\frac{1}{3} \leq 2 n\ \textless \ 1+\frac{1}{3}
\\\
- \frac{ 3}{6} +\frac{2}{6} \leq 2 n\ \textless \ \frac{4}{3}
\\\
 -\frac{1}{6} \leq 2 n\ \textless \ \frac{4}{3}
\\\
 -\frac{1}{12} \leq n\ \textless \ \frac{2}{3}
\\\
n=0: \ x_2=-\frac{ \pi }{3} +2 \pi \cdot 0=-\frac{ \pi }{3}$
ответ: -п/3; п/3

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра