Теорема. отношение изоморфизма между частично множествами является отношением эквивалентности. нужно доказать. во всех книгах указанно, что это очевидно, но для меня не
Хоть бы определение привели (бог с ним, что вопрос в категории "алгебра 5-9"). Изоморфизм тут означает биективное отображение, сохраняющее порядок? Если так, то отношение изоморфизма: 1) рефлексивно: в качестве изоморфизма можно взять тождественное отображение 2) симметрично: если есть биекция A -> B, то обратное отображение B -> A (оно существует, т.к. прямое - биекция) будет сохранять порядок: 3) транзитивно: если есть биекция f: A -> B, биекция g: B -> C (обе сохраняют порядок), то gf: A -> C - биекция и сохраняет порядок.
Пародии на доказательства: 2) для всех x, y из A x <= y <-> f(x) <= f(y), тогда для всех u, v из B u <= v <-> f-1(u)<=f-1(v) (От противного: пусть не так. Обозначим f-1(u)=x и f-1(v)=y и получим противоречие с первым неравенством). 3) для всех x, y из A x <= y <-> f(x) <= f(y), для всех u, v из B u <= v <-> g(u)<=g(v) x <= y <-> f(x) <= f(y) <-> gf(x) <= gf(y)
1) рефлексивно: в качестве изоморфизма можно взять тождественное отображение
2) симметрично: если есть биекция A -> B, то обратное отображение B -> A (оно существует, т.к. прямое - биекция) будет сохранять порядок:
3) транзитивно: если есть биекция f: A -> B, биекция g: B -> C (обе сохраняют порядок), то gf: A -> C - биекция и сохраняет порядок.
Пародии на доказательства:
2) для всех x, y из A x <= y <-> f(x) <= f(y), тогда для всех u, v из B u <= v <-> f-1(u)<=f-1(v)
(От противного: пусть не так. Обозначим f-1(u)=x и f-1(v)=y и получим противоречие с первым неравенством).
3) для всех x, y из A x <= y <-> f(x) <= f(y), для всех u, v из B u <= v <-> g(u)<=g(v)
x <= y <-> f(x) <= f(y) <-> gf(x) <= gf(y)