Докажите, что если сумма положительных чисел a и - вопрос №24944691 от fidan191 07.03.2022 08:36

Question

Алгебра: Докажите, что если сумма положительных чисел a и b равна 1, то: (верхнее выражение) я пробовал решить составив систему неравенств

fidan191 · Answer

Дано, что

, значит

Значит надо доказать, что:
$a^4+(1-a)^4 \geq \frac{1}{8}$
Исследуем левую часть неравенства как функцию от а:
f(a) = a^4+(1-a)^4

Считаем производную:
f'(a) = 4a^3-4(1-a)^3

Если решить уравнение f'(a)=0

, то будет один корень а = 1/2 - это точка минимума.
Находим минимальное значение f(a):
$f( \frac{1}{2}) = ( \frac{1}{2} )^4+(1- \frac{1}{2} )^4 = \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{1}{8}$
Минимальное значение функции = 1/8, значит:
$f(a) = a^4+(1-a)^4 \geq \frac{1}{8}$