Из набора цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) выбирают шесть различных значений A,B,C,D,E,F. Предположим, что прямые Ax+By=С и Dx+Ey=F пересекаются в точке с рациональными координатами (p,q). Какое максимальное простое число будет делителем знаменателя чисел p и q ?

67

Объяснение:

Имеем две прямых:

{ Ax + By = C

{ Dx + Ey = F

Выразим y через x в обоих прямых:

{ y = (C - Ax)/B

{ y = (F - Dx)/E

В точке пересечения прямых правые части равны друг другу:

(C - Ax)/B = (F - Dx)/E

E(C - Ax) = B(F - Dx)

CE - AEx = BF - BDx

BDx - AEx = BF - CE

x = (BF - CE)/(BD - AE)

y = (C - Ax)/B = (C - (ABF - ACE)/(BD - AE) ) / B =

= (CBD - CAE - ABF + ACE)/(BBD - BAE) =

= (CBD - ABF)/(B^2*D - BAE) = (CD - AF)/(BD - AE)

Итак, получили координаты:

p = x = (BF - CE)/(BD - AE)

q = y = (CD - AF)/(BD - AE)

Знаменатели у них одинаковые.

Максимальный знаменатель равен:

BD - AE = 9*8 - 1*5 = 72 - 5 = 67.

И это максимальное простое число, которое можно получить разностью.