(х²+х)²+(х-1)(х+2) меньше или равно 4
​

(x²+x)²+x²+x-2≤4; x²+x=t; t²+t-6≤0;  (t+3)(t-2)≤0; (x²+x+3)(x²+x-2)≤0; первая скобка очевидно всюду положительна (посчитайте дискриминант);

(x+2)(x-1)≤0;  x∈[-2;1]

Объяснение:

(х²+х)²+(х-1)(х+2)≤4

(х²+х)²+(х-1)(х+2) -4≤0

разложим выражение на множители

(х-1)(х+2)=x²+2х-х-2=x²+х-2

(х²+х)²+(х-1)(х+2) -4=(х²+х)² -2²+(x²+х-2)=

=(x²+х-2)(x²+х+2)+(x²+х-2)=(x²+х-2)(x²+х+2+1)=(x²+х-2)(x²+х+3)=

=(х-1)(х+2)(x²+х+3)

(х-1)(х+2)(x²+х+3)≤0

решим неравенство методом интервалов

найдем корни (х-1)(х+2)(x²+х+3)=0

1) x-1=0 ; x₁=1

2) x+2=0 ; x=-2

3) x²+х+3 ; d=1-12=-11 дискриминант <0 действительных корней нет

  x²+х+3 всегда >0 и на знак выражения не влияет

нанесем корни на числовую ось и определим знаки выражения на каждом интервале.

так как (х-1)(х+2)=x²+х-2 это квадратичная функция у которой коэффициент при х² равен 1 и 1>0 то ветки параболы направлены вверх и знаки интервалов будут (+)  (-)  (+)

(-∞)(-2)(1)(+∞)

             +                  -                   +

выбираем интервал со знаком минус

x∈[-2;1]