Абсцисса вершины параболы:
Xm = -b/(2a) = 1
Парабола симметрична относительно своей центральной оси, проходящей через указанную точку х = 1.
Выбираем произвольную точку х справа от х=1. Пусть это правая нижняя вершина искомого прямоугольника. Ее значение ограничено большим корнем уравнения:
8+2х-x²=0
Корни: -2 и 4
Итак выбранная нами координата х принадлежит интервалу (1; 4)
Тогда длина прямоугольника из соображений симметрии относительно оси х = 1:
а = 2(х-1)
Высота прямоугольника равна ординате соответствующей точки параболы:
b = 8+2x-x²
Тогда площадь, как ф-ия от х:
S(x) = ab = 2(x-1)(8+2x-x²)
Находим производную и исследуем на монотонность и экстремумы:
S'(x) = 2[(8+2x-x²) + (x-1)(2-2x)] = 2[8+2x-x²+2x-2-2x²+2x]=2(-3x²+6x+6)=0
Критические точки: (1-√3) и (1+√3)
Вторая точка как раз принадлежит интервалу (1; 4) и является точкой максимума.
Найдем площадь, подставив х = 1+√3 в ф-ию S(x):
Smax = 2*√3(8+2+2√3-1-2√3-3) = 12√3
ответ: .
Абсцисса вершины параболы:
Xm = -b/(2a) = 1
Парабола симметрична относительно своей центральной оси, проходящей через указанную точку х = 1.
Выбираем произвольную точку х справа от х=1. Пусть это правая нижняя вершина искомого прямоугольника. Ее значение ограничено большим корнем уравнения:
8+2х-x²=0
Корни: -2 и 4
Итак выбранная нами координата х принадлежит интервалу (1; 4)
Тогда длина прямоугольника из соображений симметрии относительно оси х = 1:
а = 2(х-1)
Высота прямоугольника равна ординате соответствующей точки параболы:
b = 8+2x-x²
Тогда площадь, как ф-ия от х:
S(x) = ab = 2(x-1)(8+2x-x²)
Находим производную и исследуем на монотонность и экстремумы:
S'(x) = 2[(8+2x-x²) + (x-1)(2-2x)] = 2[8+2x-x²+2x-2-2x²+2x]=2(-3x²+6x+6)=0
Критические точки: (1-√3) и (1+√3)
Вторая точка как раз принадлежит интервалу (1; 4) и является точкой максимума.
Найдем площадь, подставив х = 1+√3 в ф-ию S(x):
Smax = 2*√3(8+2+2√3-1-2√3-3) = 12√3
ответ:
.