Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости .

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимос

Ответ:

Helpppppp11

24.11.2020 13:33

$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(x+4)^n}{5n+1}=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n(x+4)^n$

$\dfrac{1}{R}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{1}{5n+1}}=1\\ \Rightarrow R=1$

А значит интервал сходимости $x\in(-5;-3)$

Исследуем на концах:

$x=-3\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty a_n(-3+4)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{5n+1}=\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{b_n}{\frac{1}{n}}=\dfrac{1}{5}, \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n}$ расходится, как гармонический - а тогда, согласно предельному признаку сравнения, $\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$ также расходится

$x=-5\Rightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty a_n(-5+4)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\dfrac{1}{5n+1}=\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^nc_n$

1) c_n0

2) $\left(\dfrac{1}{5n+1}\right)'=-\dfrac{5}{(5n+1)^2}$ , а значит $\{c_n\}$ монотонно убывает

3) $\lim\limits_{n\to\infty} c_n=0$

А тогда, по признаку Лейбница, $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^nc_n$ сходится

А значит ряд сходится на [-5;-3)

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

adidas128

15.01.2021 08:28

Задача 1 Числитель обыкновенной дроби на 1 меньше, чем знаменатель. Когда от числителя этой дроби отняли 7, а от знаменателя - 5, то дробь уменышилась на Найдите эту дробь....

missg78

16.07.2021 06:38

Що дає + на - при відніманні? Скажите...

qwerty5543

11.05.2020 03:40

Решите уравнения: а)2z^3-z^2-10z=0; б)10x^4+3x^3-18x^2...

DRUGAЯ

11.05.2020 03:40

А) построите график функции y= -2x+4 б)проходит ли этот график через точку a(3; -2)? b)проходит ли этот график через точку b(-12; 26)? !...

Kerisha4

13.08.2021 15:09

M(-3; -4) n(1; 4) напишите уравнение прямой проходящей через точки...

igor2312

13.08.2021 15:09

2sin^2x-cosx-1=0 решите . покажите как раскрыть скобки при замене на 1-cos^2x...

Ярослав4497

26.01.2021 00:03

из-за неблагоприятных факторов окружающей среды какой не приходить процесс у растений а) птицы перестают петь б) оплавления не происходит в) цветы не распускаются г) на растении...

таня1966

19.05.2023 13:02

A^3 b - ab^3/ab^2 - a^2 b , если a = - 0,5; b=1/3 ^ - это возведение в степень / - это дробная черта заранее...

500о

01.11.2021 23:45

Подайте у вигляді добутку вираз: а) 7а2 – 42а + 63; б) 3с2 – 48...

Anfisac3t

06.07.2021 14:42

3.34 )9 класс геометрия ) помагите срошно есть ответ...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку