заменим cos=х и решим кубическое уравнение, зная, что х положительно, т.к. угол 36° лежит в первой четверти, и меньше единицы. получим 4х³+2х²-3х-1=0, путем подбора найдем первый корень уравнения х=-1, -4+2+3-1=0; разделим на (х+1) выражение 4х³+2х²-3х-1, получим
4х³+2х²-3х-1⊥(х+1)
(4х²-2х-1)
-(4х³+4х²)
-2х²-3х
-(-2х²-2х)
-х-1
-(-х-1)
0, значит, 4х³+2х²-3х-1=(х+1)* (4х²-2х-1)=0
и уравнение имеет корни х=-1; ∅, т.к. не входит в ОДЗ.
(4х²-2х-1)=0; х=(1±√5)/4; х=(1-√5)/4 отрицательное, не подходит. остается только один корень cos36°=(1+√5)/4, который и подставим в выражение 8*0.5(cos36°+cos108°)=4*(cos36°-2cos²36°+1)=
1 Воспользуемся четностью косинуса и формулой
cosα*cosβ=0.5*(cos(α-β)+cos(α+β)cos36°*cos72°=
0.5*(cos(36°-72°)+cos(36°+72°)=0.5(cos36°+cos108°), по формуле тройного аргумента косинуса получим cos108°=cos3*36°=4*cos³36°-3cos36°
с другой стороны, cos108°=cos(180°-72°)=-cos²72°=-cos(2*36°)=
-2cos²36°+1, приравняем, получим уравнение, 4*cos³36°-3cos36°=-2cos²36°+1
заменим cos=х и решим кубическое уравнение, зная, что х положительно, т.к. угол 36° лежит в первой четверти, и меньше единицы. получим 4х³+2х²-3х-1=0, путем подбора найдем первый корень уравнения х=-1, -4+2+3-1=0; разделим на (х+1) выражение 4х³+2х²-3х-1, получим
4х³+2х²-3х-1⊥(х+1)
(4х²-2х-1)
-(4х³+4х²)
-2х²-3х
-(-2х²-2х)
-х-1
-(-х-1)
0, значит, 4х³+2х²-3х-1=(х+1)* (4х²-2х-1)=0
и уравнение имеет корни х=-1; ∅, т.к. не входит в ОДЗ.
(4х²-2х-1)=0; х=(1±√5)/4; х=(1-√5)/4 отрицательное, не подходит. остается только один корень cos36°=(1+√5)/4, который и подставим в выражение 8*0.5(cos36°+cos108°)=4*(cos36°-2cos²36°+1)=
4*((1+√5)/4)-2*((1+√5)/4)²+1)=1+√5-8*((1+2√5+5)/16)+4=5+√5-3-√5=2
ответ 2
2. 1-b; 2-d; 3- a.
Детальнее 1. 2sin20°*cos30°=2sin20°*(√3/2)=√3sin20°
2. 2sin50°*cos30°=2sin50°*(√3/2)=√3sin50°
3. -2sin30°*sin40°=-2*(1/2)*sin40°=-sin40°
использовал формулы 1. sinα-sinβ=2(sin(α-β)/2)*(cos(α+β)/2)
2. sinα+sinβ=2(sin(α+β)/2)*(cos(α-β)/2)
3. cosα-cosβ=-2(sin(α-β)/2)*( sin(α+β)/2)
ответ 1-b; 2-d; 3 - a.
9. Упростите выражение 8cos36°cos72° .
- - - - - - -
10. Установите соответствие
1. sin50° - sin10°
2. sin80° + sin20°
3. cos70° - cos10°
ответ: 9 ;
10.1.√3sin20° → b ; 10.2.√3sin50 → d ; 10.3. sin40° → e
Объяснение: * * * sinαcosα = (sin2α) /2 * * *
9. 8cos36°cos72°=8sin36°cos36°cos72°/sin36°=4sin72°cos72°/sin36°=
2sin144°/sin36°=2sin(180° -36°) /sin36°=2sin36°) /sin36°= 2.
- - - - - - -
10.1. sin50° - sin10° =2sin(50° - 10°)/2 *cos(50° + 10°)/2=2sin20 *cos30°=
2sin20 *√3 /2 =√3sin20° . → b
10.2. sin80° +sin20° =2sin(80°+20°)/2 *cos(80°-20°)/2=2sin50 *cos30°=
2sin50 *√3 /2 =√3sin50° . → d
10.3. cos70°- cos10° = -2sin(70°- 10°)/2*sin(70° + 10°)/2=-2sin30° * sin40°=
= -2*1/2 * sin40°= - sin40° . → e