Найти наименьший положительный корень $\frac{ctgx-1}{tgx-1} +\sqrt{2} cosx=0$

Ответ:

klikedfrite

05.01.2024 08:20

Хорошо, давайте решим этот уравнение шаг за шагом.

1) Для начала, давайте преобразуем уравнение, чтобы упростить его.

$\frac{ctgx-1}{tgx-1} +\sqrt{2} cosx=0$

Мы можем заменить cot(x) на 1/tan(x), и tan(x) на sin(x)/cos(x). Это даст нам уравнение:

$\frac{\frac{1}{tan(x)}-1}{\frac{sin(x)}{cos(x)}-1} +\sqrt{2} cosx=0$

2) Теперь давайте избавимся от дробей, умножив обе части уравнения на (tan(x)-sin(x)/cos(x)-1). Это даст нам:

$(\frac{\frac{1}{tan(x)}-1}{\frac{sin(x)}{cos(x)}-1})(tan(x)-\frac{sin(x)}{cos(x)}) + \sqrt{2} cosx(tan(x)-sin(x)) = 0$

Раскроем скобки:

$\frac{1-sin(x)tan(x)}{cos(x)-sin(x)} + \sqrt{2} cosx(tan(x)-sin(x)) = 0$

3) Теперь упростим выражение. Для начала, вычислим sin(x)tan(x):

$sin(x)tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)} * \frac{sin(x)}{cos(x)} = \frac{sin^2(x)}{cos^2(x)}$

Заметим, что мы можем использовать тождество тангенса: 1 + tan^2(x) = sec^2(x).

$sin^2(x)tan(x) + 1 = \frac{sin^2(x)}{cos^2(x)} + 1 = \frac{sin^2(x) + cos^2(x)}{cos^2(x)} = \frac{1}{cos^2(x)}$

Инвертируем правую сторону уравнения:

$\frac{1}{1-sin^2(x)} = \frac{1}{cos^2(x)}$

Подставляем обратно это значение в уравнение:

$\frac{1 - \frac{1}{cos^2(x)}}{cos(x) - sin(x)} + \sqrt{2} cosx(tan(x)-sin(x)) = 0$

$\frac{\frac{cos^2(x)-1}{cos^2(x)}}{ cos(x) - sin(x)} + \sqrt{2} cosx(tan(x)-sin(x)) = 0$

$\frac{cos^2(x)-1}{cos^3(x)- cos^2(x)sin(x)} + \sqrt{2} cosx(tan(x)-sin(x)) = 0$

4) Сократим дробь:

$\frac{\cancel{(cos(x)-1)}(cos(x)+1)}{\cancel{(cos(x)-1)}(cos^2(x) + cos(x)sin(x))} + \sqrt{2} cosx(tan(x)-sin(x)) =0$

$\frac{cos(x)+1}{cos^2(x) + cos(x)sin(x)} + \sqrt{2} cosx(tan(x)-sin(x)) =0$

5) Теперь обозначим tan(x) как sin(x)/cos(x):

$\frac{cos(x)+1}{cos^2(x) + cos(x)sin(x)} + \sqrt{2} cosx(\frac{sin(x)}{cos(x)}-sin(x)) =0$

6) Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

$\frac{cos(x)+ 1}{cos^2(x) + cos(x)sin(x)} + \sqrt{2} cosx(\frac{sin(x)}{cos(x)}-sin(x)) =0$

$\frac{cos(x)+ 1}{cos^2(x) + cos(x)sin(x)} + \sqrt{2} cosx(\frac{sin(x)}{cos(x)}-\frac{sin(x)cos(x)}{cos(x)}) =0$

$\frac{cos(x)+ 1}{cos^2(x) + cos(x)sin(x)} + \sqrt{2} cosx(\frac{sin(x)-sin(x)cos(x)}{cos(x)}) =0$

$\frac{cos(x)+ 1}{cos^2(x) + cos(x)sin(x)} + \sqrt{2} cosx(\frac{sin(x)(1-cos(x))}{cos(x)}) =0$

$\frac{cos(x)+ 1}{cos^2(x) + cos(x)sin(x)} + \sqrt{2} cosx(\frac{sin(x)}{cos(x)})\frac{(1-cos(x))}{cos(x)} =0$

$\frac{cos(x)+ 1}{cos^2(x) + cos(x)sin(x)} + \sqrt{2} sin(x)(1-cos(x)) =0$

7) Теперь объединим дроби в одну:

$\frac{cos(x)+ 1 + \sqrt{2} sin(x)(1-cos(x))}{cos^2(x) + cos(x)sin(x)} =0$

Далее нам нужно исследовать числитель и знаменатель выражения и найти значения x, при которых уравнение равно 0.

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра