Верно ли, что (x+1)^⅓ = ³√x+1 ?
и, например, правильно ли я понимаю, что (x+1)^⅔ = ³√(x+1)²?

Нет, не всегда. Поскольку ³√(x+1) определен для любого действительного х, в том числе и отрицательных значений, а вот степенная функция у=(x+1)^⅓ определена на множестве неотрицательных значений. Поэтому своим равенством Вы можете пользоваться при условии, что х≥-1

Для других значений х равенство не выполняется.