Докажите, что выражение х^– 12х + 38 принимает положительные
значения при всех значениях х.

Докажем, что неравенство x^2 - 12x + 38 > 0 выполняется при любом х. Достаточно показать, что функция (график - парабола, ветви направлены вверх) в левой части не пересекает ось ОХ, т.е. квадрачный трехчлен не имеет корней.

D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 × 38 = 144 - 152 < 0

Трехчлен корней не имеет => точек пересечения с осью ОХ нет => функция выше оси ОХ (т.е. значения функции положительны) при любом х, что и требовалось доказать.