Как правильно пишется- научиться или научится?

Это зависит от позиции этого слова в предложении.
например:
Я хочу (что сделать? 'ь' есть в вопросе, значит пишем) научиться .
если же вопрос 'что сделает' тогда слово без 'ь', то есть научится

Смотря в каком предложении,если отвечает на вопрос "что делает?" ,то научится
а если "что сделать ?"-научиться
например , она научиТСЯ писать.
Я хочу научиТЬСЯ читать.