:папа бросился вдогонку,у дверей его догнал.у дверей-это дополнение или обстоятельство.

Может быть и дополнением, и обстоятельством. Все зависит от твоего вопроса: где? (обстоятельство) у чего? (дополнение)

У дверей это объстоятельство