Какое проверочное слову живёт,живой

Проверочное слово жизнь 

Чтобы проверить безударную гласную, нужно подобрать однокоренное слово с ударением на нее:
В данном случае жизнь, ударение на и, следовательно живет и живой пишутся с и.