Вкаких словосочетаниях выделенное имя существительное состоит в родительном падеже гнездо орла поддержали товарищи поздравить учителя нора барсука

Орла,учителя,барсука

Гнездо ( кого?) орла(Р.п.) ГНЕЗДО СТРАНЫ
Поддержали ( кто?)товарищи (И.п.)
Поздравить( кого? Что?)учителя ПОЗДРАВИТЬ СТРАНУ (В.п.)
нора(кого?) Барсука (Р.п.)
Можно проверить словом с ударным окончанием. Если окончание ы/и, то это Р.п.