Почему в этом предложении не пишется слитно? неумеренная охота «любителей» природы ведет к массовому истреблению.

Потому что здесь нет противопоставления.  (например;  не умеренная, а очень умеренная...)

К слову ”неумеренная” можно подобрать синоним без "не". К тому же здесь нет противоставления.