Объясните, как вы понимаете смысл последней фразы текста: в тот момент я, наверное, чуть-чуть повзрослел.

Я понимаю смысл последней фразы так : герой узнал больше об окружающем мире (или о чём-то другом, это зависит от текста).

Наверное - вводное слово, обозначающее сомнение.
Предложение можно перефразировать, не меняя смысла, примерно так: Может быть, в тот момент я немного повзрослел. 
Что касается смыслового значения: Наверное, я набрал определенное количество жизненного опыта, так что мне показалось, будто я повзрослел.