"по стране" нужно розабрать как часть речи

Стране - сущ.
1. По (чему?) стране.
Н.ф. - страна.
2. Пост. - нариц., неодуш., 1 скл., ж.р.; непост. - д.п., ед. ч.
3. По (чему?) стране. (дополнение, подчеркивается пунктиром).