Как (долго) стучал по дереву дятел? определите в каком падеже стоит слово в скобках.

Дополнение должно быть

Долго - это наречие, а как известно это не изменяемая часть речи т.е. не имеет падежа, склонения и др. признаков(в предложении является обстоятельством)