Как правильно не аккуратность или неаккуратность? и ещё недоверие или не доверие?

Зависит от контекста.
Например:
Неаккуратность была его отрицательной чертой.
Он был наделён не аккуратностью, а скорее желанием упорядочить и разложить по полочкам все материалы,касающиеся работы, но мог не обращать внимания на немытые окна.