Пускай и пусть это однокоренные слова?

Пусть и пускай - синонимы, различающиеся стилистикой.

"Пусть" - литературнай норма, если речь идет о частице или союзе. В этом случае "пускай" - разговорная форма.

Литературной нормой "пускай" является только в том случае, если используется как форма глагола повелительного наклонения ед.числа от н.ф. "пускать".