По этому слитно или раздельно? они бывают трех видов ( и перечесление) нужно ли двоеточие?

1) по этому принципу мальчики решали задачу в данном случае раздельно

2)пошел дождь, поэтому они пошли домой. в данном случае слитно

3)если не ошибаюсь, но после этого слова не ставится двоеточие .