Разбор предложения по членам. кот покорно лег на свой матрасик и закрыл глаза.

Кот-подлежащее (выраженное существительным)
лег, закрыл-сказуемое (выраженное глаголом)
(в идеале. там вроде запятая должна быть, перед и. Потому что сложное предложение) 
покорно,(наречие)  обстоятельство
на свой(на-предлог, свой-местоимение), глаза(существительное)-дополнение  

Кот- ( подлежащие, выраженное существительным), покорно-( обстоятельства, выраженное наречием), лёг-( сказуемое, выраженное глаголом). на матрасик(  дополнение, выраженное сущ.), и-(союз), закрыл-( сказуемое, выраженное глаголом), глаза( дополнение, выраженное сущ.)