Предложение со словом например но оно недолжно быть вводным!

такого предложения нет, т.к. например это вводное слово и если его убрать из предложения смысл предложения не изменится

Вам нужно такое предложение? Или я  не поняла. Ну, если предложение то вот:   Например, сегодня погода хуже, чем вчера.