Какой род слова «месяц» в значении луны?
Мужской всё-таки или женский? Не может же быть без рода? Меня ставит под сомнение то, что луна - она чья? Она моя(ж.р), не значит ли это, что и «месяц» женского?

Слово месяц мужского рода. "месяц" и "луна"-это разные слова. Слово " месяц" 2-го склонения и склоняется соответственно.

Если слова частичные синонимы, это не означает, что они должны быть одного рода. Месяц-м.р, луна-ж.р.