Можно ли уволить сотрудника в день нарушения им дисциплины? например, если он явился пьяным на работу или прогулял.

скорее всего да,н о все зависит от его начальника

Естественно. Сразу не нужно увольнять человека, нужно сделать предупреждение, а если такое опять повториться, то надо уже писать заявление на его увольнение.