Вподземелье живут гномы в разноцветных колпаках. однажды 105 жителей подземелья встали в круг. оказалось, что каждый гном стоит рядом хотя бы с одним гномом в колпаке того же цвета; при этом 67 гномов стоят между двумя гномами в колпаках того же цвета. какое наибольшее количество гномов в красных
колпаках могли иметь соседа в не красном колпаке?

Пошаговое объяснение:

Разобьём всех гномов по тройкам, чтобы найти сколько из них могут стоять между гномами в колпаках одного цвета:

105:3=35, а нужно 67. Значит надо добавить к 32 тройкам по гному в таком же колпаке. Получается 32 квартета одного цвета и 3 тройки:

3×3+32×4=137.

31 гном лишний, т. е. 8 квартетов подряд должны быть одного цвета. Остаётся 16 квартетов и 3 тройки, из которых две соседние тройки должны быть одного цвета. Итак имеем 8 соседних квартетов одного цвета, 2 соседних тройки одного цвета, а также 16 квартетов и тройка разных цветов. Или всего имеем 27 наборов разных цветов. Если разместить их по кругу, то первый и последний наборы должны быть разных цветов. То есть красных наборов может быть (27-1):2=13. С каждой стороны красных наборов будут не красные наборы. Таким образом максимум 26 гномов в красных колпаках могут иметь соседа не в красном колпаке.