Для определения интервалов возрастания функции y=2x^3 + 9x^2 нужно найти значения х, при которых производная этой функции больше нуля.
Шаг 1: Найдем производную функции. Для этого возьмем каждое слагаемое и умножим его на степень исходной функции, затем уменьшим степень на единицу. Получим:
y' = 2 * 3x^2 + 9 * 2x.
Шаг 2: Упростим эту производную:
y' = 6x^2 + 18x.
Шаг 3: Поставим уравнение y' > 0 и решим его, чтобы найти значения х, при которых производная функции больше нуля.
6x^2 + 18x > 0.
Шаг 4: Факторизуем это уравнение:
6x(x + 3) > 0.
Шаг 5: Найдем значения х, при которых это уравнение выполнено.
Рассмотрим каждый множитель отдельно:
1) 6x > 0. В этом случае, х должен быть положительным, так как умножение на положительное число не меняет знак неравенства. Значит, x > 0.
2) x + 3 > 0. В этом случае, х должен быть отрицательным, так как умножение на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный. Значит, x < -3.
Шаг 6: Составим таблицу знаков, чтобы определить интервалы возрастания функции:
Шаг 1: Найдем производную функции. Для этого возьмем каждое слагаемое и умножим его на степень исходной функции, затем уменьшим степень на единицу. Получим:
y' = 2 * 3x^2 + 9 * 2x.
Шаг 2: Упростим эту производную:
y' = 6x^2 + 18x.
Шаг 3: Поставим уравнение y' > 0 и решим его, чтобы найти значения х, при которых производная функции больше нуля.
6x^2 + 18x > 0.
Шаг 4: Факторизуем это уравнение:
6x(x + 3) > 0.
Шаг 5: Найдем значения х, при которых это уравнение выполнено.
Рассмотрим каждый множитель отдельно:
1) 6x > 0. В этом случае, х должен быть положительным, так как умножение на положительное число не меняет знак неравенства. Значит, x > 0.
2) x + 3 > 0. В этом случае, х должен быть отрицательным, так как умножение на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный. Значит, x < -3.
Шаг 6: Составим таблицу знаков, чтобы определить интервалы возрастания функции:
-∞ -3 0 +∞
_________________________________________
| | | | |
y' - 0 + + |
_________________________________________
y - ? + + |
На основе таблицы знаков, мы можем сделать следующие выводы:
- Функция возрастает на интервале (-∞, -3) и (0, +∞), так как значение производной положительно.
Шаг 7: В конечном итоге, интервалами возрастания функции y=2x^3 + 9x^2 являются (-∞, -3) и (0, +∞).