Даны 12 натуральных чисел, не превышающих 100 докажите, что среди них найдутся хотя бы два числа, отношение которых будет не меньше половины, но и не больше полутора. с объяснением !
Пусть нашлись 12 чисел, удовлетворяющих условиям задачи. Докажем, что 1 - одно из этих чисел. В противном случае каждое "последующее" число хотя бы в 1,5 раза больше "предыдущего" и самое большое хотя бы в 86 раз (1,5¹¹ (грубый подсчёт)) больше самого маленького. Тогда наибольшее число больше 100, значит, 1 - одно из чисел. Из оставшихся чисел 2 - самое маленькое. Но, даже если взято число 2, наибольшее из оставшихся чисел хотя бы в 57 (1,5¹⁰) больше наименьшего, следовательно, наибольшее число больше 100. Противоречие. Значит, найдутся два числа, одно из которых не больше чем в полтора раза больше другого.
Пусть нашлись 12 чисел, удовлетворяющих условиям задачи. Докажем, что 1 - одно из этих чисел. В противном случае каждое "последующее" число хотя бы в 1,5 раза больше "предыдущего" и самое большое хотя бы в 86 раз (1,5¹¹ (грубый подсчёт)) больше самого маленького. Тогда наибольшее число больше 100, значит, 1 - одно из чисел. Из оставшихся чисел 2 - самое маленькое. Но, даже если взято число 2, наибольшее из оставшихся чисел хотя бы в 57 (1,5¹⁰) больше наименьшего, следовательно, наибольшее число больше 100. Противоречие. Значит, найдутся два числа, одно из которых не больше чем в полтора раза больше другого.