100 ! ! исследовать на сходимость ряды 1) сума от 1 до бесконечности 1/(n^2 +2n +3) 2) сума от 1 до бесконечности sin(pi/2^n) 3) сума от 1 до бесконечности 1/(2n+1)!
По признаку сравнения для положительных числовых рядов из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами.
2) Аргумент синуса убывает от для 0
Следовательно рассматриваемый ряд положителен и для синуса можем записать
sinx < x
Исследуем на сходимость ряд сумм
Найдем для него отношение последующего члена к предыдущему
По признаку Даламбера ряд сумм сходится.
По признаку сравнения для положительных числовых рядов из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами, т.е сходится и ряд сумм
3. Найдем отношение последующего члена к предыдущему
При n стремящемся к бесконечности D стремится к нулю, а следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится.
ответ: 1) сходится 2) сходится 3) сходится
Пошаговое объяснение:
1) Известно, что ряд сумма
сходится при α > 1
В частности сходится и ряд суммы
Т.к.
то
По признаку сравнения для положительных числовых рядов из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами.
2) Аргумент синуса убывает от
для 0
Следовательно рассматриваемый ряд положителен и для синуса можем записать
sinx < x
Исследуем на сходимость ряд сумм
Найдем для него отношение последующего члена к предыдущему
По признаку Даламбера ряд сумм
сходится.
По признаку сравнения для положительных числовых рядов из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами, т.е сходится и ряд сумм
3. Найдем отношение последующего члена к предыдущему
При n стремящемся к бесконечности D стремится к нулю, а следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится.