Доказать равенство:
1*(n-1) + 2*(n-2) + + (n-1)*1 = [(n-1)*n*(n+1)]/6.
понимаю, что по индукции, но туплю с вычетом выражения для k=n из выражения для k=n+1

Можно воспользоваться формулой для суммы квадратов

первых (n-1) натуральных чисел

1+2*2+...(n-1)*(n-1)=(n-1)n(2n-1)/6  (*)

Тогда , раскрыв скобки , видим сумму членов арифметической прогрессии, умноженную на n  минус указанную сумму квадратов    n(n-1)n/2-(n-1)n(2n-1)/6=

(n(n-1)/6)*(3n-2n+1)=n*(n-1)*(n+1)/6

Но формулу (*), конечно, нужно уметь доказывать. Впрочем, она есть всюду.